高中数学导数总结

定义和几何意义

• 定义
• 几何意义: 切线斜率.
• 割线斜率:
• 放缩: 证明恒成立可以证明恒大于(小于)交点处切线

公切线问题

求 的公切线.

1. 设 上切点
2. 两点处的切线方程
3. 两切线应当重合, 得到方程组
4. 视情况讨论.

两曲线距离

• 都有凹凸性, 截线垂直于 x 轴: 两函数做差后求最小值
• 都有凹凸性, 截线垂直于 y 轴: 先求反函数, 再做差求最小值
• 直线到曲线距离最小: 导数等于直线斜率
• 都有凹凸性, 距离最小: 不好直接求, 观察是否有对称关系

三次函数

对称中心: , 有两个极值点, 没有极值点.

切线条数问题

image.png

B 点是对称中心.

• 一区三区(不含边界): 可作 3 条切线
• 曲线与直线上(不含 B 点): 可做 2 条切线
• 二区四区和 B 点: 可做 1 条切线

双变量问题

尝试用主元法消除一个变量.

类型的表述, 可转化为与区间内最值有关的恒成立问题.

拉格朗日中值定理

image.png

一定存在切线斜率等于割线斜率.

双变量按 给出, 考虑几何意义.

极值点偏移

1. 确定极值点 .
2. 证明 在极值点一侧单调性
3. 证明 恒大于(小于) 0.

最好分离参数, 使得需要讨论极值点偏移问题的是具体函数.

对数均值不等式: (证明用主元法)

其他

• 项导数运算时尽量避免出现乘除法 (换元, 参变分离, 另设函数)
• 计算面积视情况用简洁的公式.

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