理论力学速通 - 分析力学

约束与广义坐标

约束: 限制物体的位置或运动的条件. 约束可以

• 限制位置: 物体位置满足函数关系
• 限制速度: 物体速度满足函数关系

概念	解释	例子
稳定约束	约束方程与时间无关	物体在地面上
不稳定约束	约束方程与时间有关	纯滚动
可解约束	约束方程为等式
不可解约束	约束方程为不等式
几何约束	约束方程只含有坐标
运动约束(微分约束)	约束方程含有坐标的一次导数(速度)	纯滚动
完整约束	能通过变换化为等式的几何约束	积分等变换

广义坐标: 描写系统位形所用的独立坐标, 如电场极化, 气体体积等均可作为广义坐标. 广义坐标的个数即为系统自由度数. 将质点的位移表示为广义坐标的函数

习惯地, 为系统的自由度数, 枚举 的下标; 为质点个数, 枚举 的下标. 使用 Einstein 求和约定. 由 个质点构成的系统最多有 个自由度.

速度

对于稳定约束, 约束方程与时间无关, 有

并且

虚功原理

平衡时, 考虑一个所有约束条件允许的微小位移, 称为虚位移.

对于稳定约束, 实位移一定是虚位移之一. 而对于不稳定约束, 实位移可能不是可能的虚位移.

将力在虚位移中做的功称为虚功.

若在任意虚位移中, 约束力 的虚功都为零, 则称为理想约束.

光滑约束一般是理想约束

对于多个物体的受力和多个广义坐标的情况, 总的虚功

则记

为对应于广义坐标 的广义力, 虚功可写作

平衡时, 有

对于理想约束, 由 知

即

由于广义坐标之间相互独立,

虚功原理: 对理想约束, 平衡时, 广义力必为零.

使用虚功原理求解平衡条件

1. 确定系统的自由度数
2. 选取作为广义坐标的变量
3. 按定义 写出广义力

• 应该是常量或者 的函数
• 可先写出 与 的方程, 再隐函数求导

4. 设法求解方程组 , 解出

虚功原理只是提供了列出方程的方法, 求解方程仍然需要数学技巧

Euler-Lagrange 方程

对于不处于平衡状态的体系, 从牛顿第二定律出发可得到 D'Alembert 原理:

乘以虚位移

理想约束下

左边可写成广义力的形式

稳定约束下, 右边也表示为广义坐标的形式

质点的动能

则有

和 代入 中

利用广义坐标的独立性得到 Euler-Lagrange 方程

若主动力都是保守力, 令系统势能 , 则

并且有

替换到 式右侧

移项

令系统的 Lagrange 函数

则得到保守力系下的 Lagrange 方程

Lagrange 方程与牛顿第二定律等价. 通过 Lagrange 函数可以导出运动微分方程. 使用 Lagrange 方程求解问题的方法

1. 确定系统的自由度数.
2. 选取广义坐标变量.
3. 根据 写出 Lagrange 函数. 应当是关于 变量的函数.
4. 根据 得到运动微分方程. 求解偏导数时, 认为 都是相互独立的变量.

可能可以通过运动微分方程求解 关于 的函数, 也可以根据方程的形式来分析运动的性质.

循环积分

定义广义速度为 , 广义动量

将 Lagrange 方程中不显含的坐标称为循环坐标, Lagrange 方程对循环坐标积分称为循环积分. 由循环积分得到广义动量守恒:

若 Lagrange 函数显含某个广义坐标, 则对于的广义动量守恒.

能量积分

对于完整稳定的约束体系, 由 有

则

则动能是广义速度的二次齐次函数¹满足

对时间求导

Lagrange 方程 两边同乘 并对 求和

则知此时 为常数

对于完整稳定约束, 且主动力都是保守力时, Lagrange 通过能量积分给出能量守恒

Lagrange 函数性质	对称性	守恒
不显含时间	时间平移对称	能量守恒
不显含线坐标	空间平移对称	动量守恒
不显含角坐标	空间选择对称	角动量守恒

Hamilton 正则方程

希望能获得 Lagrange 方程的一阶形式以方便计算. 通过 Legendre 变换定义 Hamilton 函数

左侧按多元函数链式法则求微分

右侧求微分

对照得

得到与 Lagrange 方程等价的 Hamilton 正则方程:

• 时间平移对称与能量守恒: 当 不显含时间时, 是系统总能量, 系统能量守恒
• 空间均匀与广义动量守恒: 若 不显含某个广义坐标, 则对应的广义动量守恒

用 Hamilton 正则方程推导运动微分方程

1. 确定系统自由度数
2. 选择广义坐标
3. 写出 Lagrange 函数
4. 求广义动量
5. 写出 Hamilton 函数
6. 求正则方程

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1. 次齐次函数 ↩︎