数值分析作业 - 数值微分

Problem 1

则误差

是 的二阶近似. 使用 Richardson 外推法, 得到

至少是 的三阶近似.

Problem 2

20230527160942

Taylor 展开

则有

解得

即

Problem 3

20230527163352

f[x_] = E^x;
f1[x_, h_] = (f[x - 2 h] - 4 f[x - h] + 3 f[x])/(2 h);
f2[x_, h_] = -(1/(12 h^2)) f[x - 2 h] + 4/(3 h^2) f[x - h] - 
   5/(2 h^2) f[x] + 4/(3 h^2) f[x + h] - 1/(12 h^2) f[x + 2 h];

求一阶导数的误差:

err1 = Table[1 - N[f1[0, 10^-i], 20], {i, 1, 9}]

20230527163503

ListLogPlot[err1]

20230527163532

可以观察到误差大约满足二次收敛.

求二阶导数的误差:

err2 = Table[1 - N[f2[0, 10^-i], 40], {i, 1, 9}]

20230527163657

ListLogPlot[err2]

20230527163728

可以观察到误差大约满足四次收敛.