复变函数速通 - 级数
复级数的收敛性
定理 复级数收敛
复常数项级数的收敛性类似实数常数项级数.
复变函数项级数的一致收敛性质类似实数函数项级数. 一致收敛的复变函数项级数具有类似实数的连续性定理和逐项积分定理, 对于逐项求导的情况, 条件更弱.
定义 内闭一致收敛: 在区域内任意有界闭集上一致收敛
定理 在圆
定理
在 内解析 - 复变函数项级数内闭一致收敛
幂级数, 只需注意收敛域是圆盘.
Taylor 级数
定理 Taylor 级数:
复变函数 Taylor 展开的要求比实变函数低很多
定理
定理
在 出的收敛半径 , 是距离 最近的奇点
孤立零点
定义 零点:
定义
定理
定理 解析函数零点的孤立性:
推论
- 数列
, - 或在圆盘的子区域, 子弧内恒为零
定理 唯一性定理:
在区域内解析 - 存在收敛到
的点列 , 有
只要等号左右解析, 一切在实轴上成立的恒等式, 在
平面上也成立
Lauent 级数
在 不解析, 希望将 表示为 的幂级数
双边幂级数: 包含正幂项和负幂项
若解析部分具有收敛半径
双边幂级数在收敛域内满足
- 和函数绝对收敛且内闭一致收敛
- 和函数可逐项求导任意次
- 和函数可逐项积分
定理 Lauent 展开:
类似 Taylor 级数, 收敛域内外圆周上必有奇点.
Lauent 展开式的奇点不一定与原函数奇点相同
孤立奇点
定义 孤立奇点: 复变函数在某点不解析, 但存在该点的去心邻域, 函数在此邻域内解析
根据孤立奇点处 Lauent 级数的负幂项数量, 将孤立奇点分为
- 可去奇点
Lauent 级数无负幂项 在 的去心邻域内有界
阶极点 Lauent 级数中含有 项 负幂项, 最高为 存在 在 的邻域内解析, , 存在 以 为 阶零点 (不能判断阶数)
- 本质奇点
Lauent 级数有无限多负幂项 既不收敛到有限数, 也不发散到无穷 若 在 充分小邻域内不为零, 则 是 的本质奇点 (Picard) (有限数, 无穷), ,
定理 Schwarz 引理:
在单位圆 内解析
, 若至少一点处能取等， 则
无穷远点
定义 无穷远点是孤立奇点：
只需令变换
, 然后讨论 在 的性质
无穷远点作为
- 可去奇点
Lauent 级数无正幂项 在 内有界
阶极点 Lauent 级数中含有 项 正幂项, 最高为 存在 在 内解析, , 存在 以 为 阶零点 ( ) (不能判断阶数)
- 本质奇点
Lauent 级数有无限多正幂项 既不收敛到有限数, 也不发散到无穷
整函数与亚纯函数
定义 在整个
定理
是可去奇点 是 阶奇点 是本质奇点 级数中有无穷个 (超越整函数)
定义 亚纯函数: 在
定理
则有理函数
留数
绕
定义
定理 Cauchy 留数定理: 解析函数绕多个孤立奇点
留数的求法:
- 可去奇点:
- 本质奇点: 展开成 Lauent 级数求
阶极点 则 - 当
比 的实际阶数高时, 公式仍有效 - 与高阶导数公式等价
- 一阶极点
- 二阶极点
在 解析,
- 当
无穷远点的留数
定义 无穷远点作为孤立奇点的留数
顺时针方向看作绕无穷远点的正向, 无穷远点的留数是在无穷远点的 Lauent 计数
项系数的相反数
定理
通过计算无穷远点的留数计算
定理 计算无穷远点留数的公式
实积分
利用
拆开