数值分析速通 - 基础知识
误差
准确值
- 绝对误差
- 相对误差
相近的数相减, 相对误差增大 小数做除数, 绝对误差增大
数值计算的基本原则
- 避免绝对值小的数做除数
- 防止大数吃小数 (数量级相差大的数相加减)
- 避免相近的数相减
- 减少 Flops
非线性求解方程
二分法
不动点迭代
定义, 全局收敛, 局部收敛, Lipschitz 收敛
推论:
局部收敛定理:
越接近零, 则不动点迭代收敛越快. 时将具有更高的收敛阶.
精度的极限
- 前向误差: 迭代点值不准确
- 后向误差: 迭代公式计算不准确 (如存在浮点误差)
- 误差放大因子: 相对前向误差 / 相对后向误差
- 条件数: 问题本身所决定的误差放大
原问题:
有误差的问题
说明
Taylor 展开
得到根的敏感公式:
误差放大因子
要探讨迭代公式中某一项造成的误差, 就把这一项代入
牛顿迭代法
是一种特殊形式的不动点迭代, 希望提高迭代的收敛阶, 构造不动点迭代使得
迭代公式 (切线近似):
二阶收敛
线性收敛
改进为局部二次收敛
局部二次收敛
推广到非线性方程组