概统速通 - 分布

0-1 分布

• 背景 贝努利实验 只有两个基本事件
• 分布列
• 特征函数

二项分布

• 背景 次独立重复实验 (将贝努利实验独立重复 次) 中事件 发生次数
  • 每次实验的条件不变
  • 各次实验的结果互不影响
• 分布列
• 极限分布
  • 泊松分布: 时, 认为
  • 正态分布:
• 最大可能值
• 数学期望
• 方差
• 特征函数
• 可加性

泊松分布

• 背景 将一长段区间分为 段, 求 时, 区间内事件发生次数
  1. 每一段区间内, 恰好发生一次事件的概率与区间长度称正比
  2. 每一段区间内, 发生两次以上事件是不可能事件
  3. 各段时间内发生事件是独立的
• 分布列
• 最大可能值
• 数学期望
• 方差
• 特征函数
• 可加性

超几何分布

• 背景 分类取球问题 个球, 个红球, 个白球, 不放回地取出 个球, 红球个数
• 分布列

几何分布

• 背景 持续进行独立重复试验, 直到发生一次事件 经过的实验次数
• 分布列

负二项分布

• 背景 持续进行独立重复试验, 直到总共发生 次事件 经过的实验次数
• 分布列

均匀分布

• 背景 随机变量 落在 的子区间的概率与子区间位置无关, 仅与其测度 (即长度) 成正比。
• 概率密度
• 数学期望
• 方差
• 特征函数

指数分布

概率密度

• 背景 灯泡寿命问题 满足无后效性
  • 的含义为失效率
• 概率密度
• 数学期望
• 方差
• 特征函数

正态分布

• 背景 万恶之源
• 概率密度
  • 标准正态分布
• 数学期望
• 方差
• 线性性
• 可加性 相互独立
• 特征函数
  • 标准正态分布
• 阶矩
• 上侧分位数
  

二维正态分布

• 联合概率密度
  
  • 边缘概率密度服从一维正态分布
  • 和 相互独立 不相关

多维正态分布

• 联合概率密度 协方差矩阵 是实对称正定矩阵, 是均值向量
  • 多维正态分布的边缘分布仍是正态分布
  • 多维随机变量服从正态分布 任意线性组合服从正态分布
  • 线性变换
  • 所有分量相互独立 所有分量两两不相关 是对角矩阵
• 特征函数

Gamma 分布

概率密度

• 概率密度 Gamma 函数满足
• 数学期望
• 可加性

对数正态分布

• 概率密度
• 数学期望

Chi-Square 分布

概率密度

• 背景 个独立标准正态分布随机变量的和服从 分布
• 概率密度 自由度
• 数学期望
• 方差
• 可加性
• 上侧分位数 时近似认为
  

Student-T 分布

概率密度

• 背景 独立的标准正态分布变量 和自由度 的 Chi-Square 变量
• 概率密度函数
• 上侧分位数 时, 近似认为
  

F 分布

概率密度

• 背景 独立卡方随机变量的比值
• 概率密度函数
  

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