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抽象代数速通 - 环和域

环的基本概念

  1. 环: 是非空集合, 在 上定义了两种二元运算, 加法和乘法满足
    1. 对加法运算构成交换群
    2. 对乘法运算满足结合律
    3. 乘法对加法满足左右分配率
  2. 幺环: 若 则称 是 的乘法单位元.
    • 若有 , 则必有 . 默认
    • 具有乘法单位元的环称为幺环
    • 设 是一个幺环. 在 中乘法可逆的元素构成 则 是 的一个乘法子群, 称为 的单位群, 可逆元称为单位
    • 若乘法具有交换律, 则称为交换环
  3. 性质:
  4. 子环: 环的非空子集 对 中运算也构成环
  5. 子环判别定理 是环 的非空子集, 则 是 的子环
  6. 定理 的子环均形如
  7. 幺环的子环可能是幺环, 单位元可能不同

证明是环 1. 加法封闭 2. 乘法封闭 3. 加法结合律 4. 加法交换律 5. 零元 6. 负元 7. 乘法结合律 8. 乘法左右分配率 9. (乘法单位元 幺环) 10. (乘法交换律 交换环)

证明子环: 关于减法, 乘法封闭

整环, 域和除环

  1. 左右零因子 设 是环, 非零元 满足 , 则 是 的左零因子, 是右零因子, 统称为零因子 (只要和任意非零元相乘为零就是零因子)
  2. 定理 无零因子环 成立消去律 ()
  3. 整环 无零因子的交换幺环
  4. 域 两种等价的定义
    1. 构成整环, 且非零元素构成乘法群
    2. 中定义了加法运算, 乘法运算
      1. 是交换群
      2. 对乘法是交换群
      3. 满足乘法结合律, 分配率
    3. 对于 的形式证明构成域, 需说明交换幺环, 对乘法封闭, 乘法交换律, 结合律, 幺元, 需要说明对求逆封闭.
  5. 域中的除法 , 规定 则满足
  6. 除环 是幺环且 构成群, 则称 是除环. 交换的除环即为域.
  7. 四元数除环是典型的非交换除环.
有点暴力
有点暴力
不用把逆元的形式求出来
不用把逆元的形式求出来

证明整环可说明 1. 是常见域 (整环) 的子环 ( 封闭) 2. 域 (整环) 中无零因子 3. 包含单位元

定理 有限整环都是域

证明有限整环都是域
证明有限整环都是域

理想和商环

  1. 理想 环 的非空子集 满足
  2. 理想的交与和 设 是环 的理想
    1. 是 的理想
    2. 是 的理想
    3. 环 的有限多个理想的交仍为理想
  3. 交换幺环 中元素生成的理想 即 做所有 - 线性组合
  4. 主理想 由单个元素生成的理想
  5. 主理想整环 Principle Ideal Domain 任意理想都是主理想的整环
    1. 是 PID
    2. 是 PID
    3. 是域 是 PID
  6. 商环 是环, 是 的主理想, 则对于加法 , 在加法商群 有加法运算 同时规定乘法 则可证明 关于以上两种运算构成环, 且 是加法交换群

环同态

  1. 环同态 映射 满足 可定义单同态, 满同态, 环同构.
  2. 环同态核 也是加群之间的群同态核.
    2. 是 的一个理想
  3. 性质
  4. 定理 幺环 , 是环同态
    1. 满射
    2. 无零因子,
    3. 若 则 是 中的单位 是 中单位且
  5. 环同构基本定理 设 是满同态, 则有环同构
    • 环的第一同构定理 的环同态, 有环同构
    • 环的第二同构定理 是 的子环, 是 的理想, 则 是 S 的理想且有环同构
    • 环的第三同构定理 和 是 的理想, , 则 是 的理想且有环同构
  6. 环的扩张定理 设环 与 无交集. 是单同态, 则存在一个与环 同构的环 以及环同构 满足 是 的子环且

素理想与极大理想

  1. 在整数环 中, 考虑素数 生成的理想 在交换环 中, 理想 满足什么条件使得 是整环或域
  2. 素理想 设 是交换环的真理想, 满足 或
  3. 定理 设 是交换幺环 (), 是 的理想, 则 是 的素理想 是整环
  4. 推论 是整环 是素数或零
  5. 极大理想 设 是交换环 的一个真理想, 若 中不存在真包含于 的真理想 或 则称 是环 的一个极大理想
  6. 定理 构成有限域的基本方法. 设 是交换幺环的一个理想, 则 是 的极大理想 是域.
  7. 推论 交换幺环的极大理想是素理想

证明极大理想的常见套路 1. 先说明 是真理想 2. 假设 , 则 3. 由加减法, 乘法的封闭性得到

特征

  1. 特征 含乘法幺元的环,
    • 若 的加法阶为 则
    • 若 的加法阶为 则
  2. 定理 整环 (域) 的特征是零或素数
  3. 定理 交换幺环 , 则 是环的单同态, 可视为 的子环
  4. 推论 交换幺环
    • 有一个子环 与 同构
    • 有一个子环 与 同构
  5. 定理 是域
    • 是单同态, 可视为 的子域
    • 是素数 是单同态, 可视为 的子域
  6. 素域 不含真子域的域
    • 素域
    • 素域
  7. 域的素子域 由 在 中生成的域
  8. 若 是有限域
    • 为素数
    • 可视为 子域
    • 可视为 上的一个 维 - 线性空间
    • 是 元有限域
    • 是 阶循环群

多项式环

  1. 未定元 设 是有单位元的环, 是 的扩环. 满足
    3. 有
  2. 定义 对任意有单位元的环, 一定存在一个未定元 . 构造集合 规定 上的加法和乘法 则 构成有单位元的环, 单位元为 取 的子环 与 同构 未定元 满足以上三条定义, 且 由环的扩张定理, 单同态 , 知存在 的扩环 中存在未定元
  3. 一元多项式 形如 的表达式, 构成多项式环

整环的商域

使用由整数构造分数类似的方法, 将整环扩充成一个域. 记 是整环, 是单位元.

  1. 构造集合
  2. 定义 上等价关系 容易验证反身性, 对称性, 传递性 (整环上成立消去律)
  3. 由等价关系得到商集 , 所在的等价类 划分得到商集
  4. 规定代数运算 验证运算良定 (与代表元选取无关)
  5. 验证 对加法和乘法构成域
    1. 验证加法结合律, 乘法结合律
    2. 验证加法交换律, 乘法交换律
    3. 验证乘法对加法分配率
    4. 的零元
    5. 的单位元
    6. 有负元
    7. 有逆元
  6. 由 构造包含 的域, 取映射
    1. 是单射
    2. 是同态映射
    3. 由环的扩张定理知存在 的扩环 与 同构
    4. 中每个元素都可表示为 的形式
    5. 称 为整环 的商域

惟一分解整环

  1. 约定 是整环, 是 的商域, 是 的单位群
  2. 上整除的概念和基本性质
    4. 且
  3. 相伴 且 则称 相伴, 记作
    • 的平凡因子 单位和与 相伴的因子
    • 的真因子 且 不是 的平凡因子
  4. 整环上的不可约元 非零, 非单位, 无真因子
  5. 素元 非零, 非单位, 且 或
  6. 定理 在整环上, 素元都是不可约元
  7. 环上范数 设整数 且无平方因子 , 对于以下整环 规定该整环上的一个函数 为环上范数 满足以下性质
    2. 在 中 在 中
    3. 是单位
  8. 设 是整环 中非零单位元, 则以下条件等价
    • 不可约 ( 没有真因子)
    • 或者
    • 或者
    • 或者
    • 或者
  9. 惟一分解整环 设 是整环, 非零非单位
    1. 存在不可约元 , 则称 有一个不可约分解式
    2. 若 的不可约分解式在相伴意义下唯一
    3. 若 中任意非零非单位元均有唯一的不可约分解式 则称 是一个惟一分解整环 UFD
  10. 定理 是 UFD, 则 不可约 是素元
  11. 整环中的真因子链 , 是 的真因子
  12. 定理 在 UFD 中, 任意元的真因子链一定有限终止

证明素元, 可借助环上范数是素数.

证明不可约元, 考虑其环上范数的可分解性. 环上范数是素数 不可约元, 环上范数不是素数也可能是不可约元.

证明不是素元, 找一个反例

参考资料
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