数分速通 - 导数与微分

一元导函数性质

定理 单侧导数极限定理: 开区间 可导, 在 右连续, 导函数右极限 存在 右导数 存在. 左端点的情况类似.

推论 开区间可导 导函数在开区间内不存在间断点

定理 导数极限定理: 在 某邻域内连续, 去心邻域内可导, 存在

定理 Darboux 中值: 在闭区间 可导 能取到 和 之间的每一个值

没有要求导函数要连续, 但表明了导函数具有一定程度的连续性

定义 一致可微: 在区间 上可微. 有

类似一致连续, 要求 对所有 有一致的度量. 普通的可微:

定理 闭区间 上可微, 则 一致可微

一元 Taylor 公式

带 Peano 型余项的 Taylor 公式, 在 处有 阶导数

带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式, 通过 Lagrange 中值构造余项

带积分型余项的 Taylor 公式, 在 处有 阶导数, 精确

多元偏导数性质

定理 Lagrange 中值: 二元函数在凸区域上可微, 区域中任意两点 连线段上存在点 使得

高维情况类似

定理 二元函数混合偏导数 在一点连续 相等

实际上, 只需要 连续, 存在 存在且

高维情况下, 各元求导次数相同的高阶偏导数连续即相等

多元 Taylor 公式

为凸区域, ,

Lagrange 余项: 使得

积分型余项:

隐函数求导

定理 一元隐函数存在定理: 二元函数 满足

1. 在 某邻域内偏导数 存在且连续

则 , 使得

1. 在 附近可唯一确定定义在 上的函数 满足
2. 在 上具有连续导数

定理 多元隐函数存在定理: , 元函数 满足

1. 在 某邻域内偏导数 存在且连续

则 , 使得

1. 在 附近可唯一确定定义在 上的函数 满足
2. 在 上具有连续偏导数

若 具有高阶连续偏导数, 则隐函数也具有相应的高阶连续偏导数

多元向量值隐函数定理

二阶, 三阶的情况, 常用算法是 对 求导得 , 解得 , 再对 求导解

General cases:

1. 存在点 使 一阶偏导数存在且连续

则可确定隐函数 , 一阶导数 Jacobi 矩阵 () 满足

逆映射定理

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