数分速通 - 级数

数项级数

定义 级数收敛: 级数 的部分和数列 的极限 存在且有限

正项级数敛散性判别

定理 正项级数收敛 部分和数列有上界

定理 比较判别法: 正项级数 , , 若 使得

1. 收敛 收敛
2. 发散 发散

定理 积分判别法: 在 非负, 在 Riemann 可积, 取单增趋于 的数列 , 记

1. 正项级数 与反常积分 具有相同的敛散性
2. 收敛时,

推论 单调减少时, 正项级数 与反常积分 具有相同的敛散性 (如 与 )

定理 Cauchy 判别法: 正项级数 , 记

1. 收敛
2. 发散

推论 d’Alembert 判别法: 正项级数 ,

定理 Raabe 判别法: 正项级数 , 记

1. 收敛
2. 发散

分式和结论与 Cauchy 判别法相反, 一层不够可以多层叠加, 也存在无数层也不能判别的情况

一般项级数敛散性判别

定理 数项级数收敛的 Cauchy 收敛原理:

有

引理 Abel 变换: 两数列 , 记 , 则

类似分部积分

引理 Abel: , 单调, 若 使得 , 则

定理 Abel 判别法

1. 收敛
2. 单调有界

则 收敛

定理 Dirichlet 判别法

1. 有界
2. 单调收敛到

则 收敛

单调, 有界, 收敛. 交错级数的 Leibniz 判别法是 Dirichlet 判别法的特殊情况

定理 绝对收敛 原数列收敛

运算律

定理 收敛级数任意添加括号, 仍然收敛, 和不变

定理 加括号后级数收敛, 且每个括号内各项符号相同 原数列收敛

令

定理

1. 绝对收敛 收敛
2. 条件收敛 发散到

定义 更序级数: 将 的项重新排列得到

定理 绝对收敛 绝对收敛且

定理 Riemann: 条件收敛 更序级数 收敛到

定义 Cauchy 乘积:

为 和 的 Cauchy 乘积, 记为

定理 Cauchy 定理: 和 绝对收敛到 和 , 则 按任意方式相加所得级数绝对收敛到

函数项级数

函数列一致收敛

定义 函数列一致收敛: 与 定义在区间 上

有

在区间 上一致收敛到

定理 在区间 上一致收敛到

通过单调性等找到上界, 消除 , 将函数列收敛转化为数列收敛

定理 函数列一致收敛的 Cauchy 收敛原理: 在区间 上一致收敛到

有

定理 逐项积分定理: 在区间 上一致收敛到 , 且

积分和极限可交换顺序

事实上, 由 Arzela 控制收敛定理, 无需要求一致收敛, 只需满足收敛和一致有界, 结论就能成立

定理 连续性定理: 在区间 上一致收敛到 , , 即 有

定理 逐项求导定理:

2. 在区间 上逐点收敛
3. 在区间 上一致收敛到

且

在区间 上一致收敛到 , , 中数列 收敛到

定理 Dini 定理:

2. 单调收敛于

在区间 上一致收敛到

函数项级数一致收敛

定义 函数项级数一致收敛: 函数项级数 部分和函数列 在 上一致收敛到 , 称函数项级数 在 一致收敛到

定理 函数项级数 一致收敛 一致收敛到

Cauchy 收敛原理, Weierstrass 判别法, Abel 判别法, Dirichlet 判别法类似含参变量反常积分.

和函数分析性质

定理 逐项积分定理: , 函数项级数 在 一致收敛到 且

定理 连续性定理: , 函数项级数 在 一致收敛到 , 即

定理 逐项求导定理:

2. 在 逐点收敛 到
3. 在 一致收敛到

且

幂级数

幂级数和函数性质

定理 Abel 第一定理

1. 在 处收敛 时绝对收敛
2. 在 处发散 时发散

定理 Cauchy-Hadamard 公式: 任意幂级数 , 记

则收敛半径

更简单的情况也可行,

定理 Abel 第二定理: 收敛半径为 ,

1. 在 内闭一致收敛¹
2. 在 收敛 上一致收敛
3. 在 收敛 上一致收敛
4. 在 收敛 一致收敛

定理 逐项积分定理: 收敛半径为 , 和函数在 可积 (若在端点处收敛也成立)

上式右端幂级数收敛半径也为

定理 连续性定理: 收敛半径为 , 和函数在 连续 (若在端点处收敛也成立)

定理 逐项求导定理: 收敛半径为 , 和函数在 可导 (若在端点处收敛也成立)

上式右端幂级数收敛半径也为

定理 Tauber 定理

1. 收敛半径为
2. 存在

Taylor 级数

定理 在 任意阶可导, 使得 , 则

定理 在 任意阶可导, 各阶导数非负, 有

定理 Weierstrass 第一逼近定理: 多项式 使得

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