矩阵分析作业 2
矩阵分析
Problem 1
若 , 则 是否相同? 证明之.
不妨设 . 考虑 的 QR 分解形式
Q 是 方阵满足 , R 是 上三角矩阵. 则
而
由于 是上三角阵, 则能做有限次的初等列变换将 化为对角阵, 即存在可逆矩阵 使得 是对角阵. 于是
所以 . 同理可证 . 所以 .
Problem 2
若 , 证明 和 的非零特征值相同.
的非零特征值 , 非零向量 使得
则
所以 也是 的非零特征值, 其特征向量为 . 同理可证 的非零特征值 , 也是 的非零特征值.
则 和 的非零特征值相同.
Problem 3
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| >> A = [2, 6; 2, 6.00001];
>> B = [2, 6; 2, 8.00001];
>> D = [0, 0; 0, -0.00002];
>> inv(A)
ans =
1.0e+05 *
3.0000 -3.0000
-1.0000 1.0000
>> inv(A + D)
ans =
1.0e+05 *
-3.0000 3.0000
1.0000 -1.0000
>> inv(B + D)
ans =
2.0000 -1.5000
-0.5000 0.5000
|
注意到对 的小扰动造成了其逆的巨大变化, 而对 进行相同的扰动造成的逆的变化极小.
Problem 4
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| >> cond(A, 1)
ans =
4.8000e+06
>> cond(A, 2)
ans =
4.0000e+06
>> cond(A, Inf)
ans =
4.8000e+06
>> cond(B, 1)
ans =
34.9999
>> cond(B, 2)
ans =
26.9628
>> cond(B, Inf)
ans =
34.9999
|
发现 的条件数远大于 的条件数，说明 的数值稳定性远不如 .
