矩阵函数在线性时不变系统的能控性和能观性上的应用

引言

控制理论诞生于上个世纪，基于信息的交互来控制目标的运动，经典的控制理论已经广泛用于工业自动化、认知科学、人工智能和经济学等多个领域。现代控制理论基于状态空间描述的状态方程模型，基于矩阵作用于状态向量来表示系统，通过矩阵函数简化了对系统稳定性的判断和控制器的设计，也便于计算机求解。本文将简要介绍状态空间方程的定义，以及如何根据矩阵函数的运算性质来分析线性时不变系统的能控性和能观性。

线性时不变系统

首先定义系统的状态变量 是 维向量， 维输出向量完全由初始状态 和 维控制向量 在 内的历史决定，则状态方程可以由有限个一阶常微分方程组描述：

线性系统可以进一步的写成如下形式

其中 是 矩阵， 是 矩阵， 是 矩阵， 是 矩阵。进一步地，线性时不变系统可以写作

非线性系统可以通过 Jacobian 矩阵在平衡点附近线性化，然后用线性系统的方法来分析。当 满秩时，系统的自治平衡点具有唯一解。

考虑最简单的线性自治系统

的解可以借助一个 的转移矩阵 来表示

通过不动点迭代求解常微分方程的初值问题，按照如下的公式

带入 ，可以得到

可以看到， 是 的幂次多项式， 可以用矩阵的指数函数来表示

转移函数具有指数函数的性质。对于普通的线性时不变系统

代入解的形式 并应用指数函数的求导法则，可以得到

化简得到

使用不动点迭代得到

再应用转移函数的定义得到任意时刻的状态变量解

前一项 是系统的齐次解，后一项 是系统的特解。代入输出变量的定义中，得到输出变量的解

输出变量可分解成自治的运动、受控的运动和直接控制三个部分的线性叠加。

能控性

能控性是指系统是否可以在有限时间内，从任意初始状态经由一个连续的控制输入到达任意状态。对于线性时不变系统，可以通过控制矩阵 和状态矩阵 来判断系统的能控性。在状态变量的解中，取 并 ，则

其中

是控制输入的 阶矩。上式表明目标终值 可以看作 等的线性组合。那么目标终值 能覆盖整个状态空间的充要条件是 等的线性组合能够覆盖整个状态空间。而由 Caylay 定理指出，矩阵的特征多项式

满足

也就是说 都能用 线性表示。因此，系统的能控性可以通过判断 的控制矩阵的秩来判断。如果

则系统是能控的。此为 Kalman 可控性条件。

能观性

能观性是指系统是否可以通过有限时间内通过连续的控制变量以及测得的输出变量的信息，完全地确定初始状态 。对于线性时不变系统，可以通过观测矩阵 和状态矩阵 来判断系统的能观性。考虑输出变量的解

注意到后两项与初始条件 无关，为了简化问题，再令 ，则输出变量的解简化为

假设存在非零向量 使得

则

这意味着 的初值 不唯一，要么为 ，要么为 。这要求不能存在这样的 ，即能观矩阵满秩

则系统是能观的。此为 Kalman 可观性条件。

结论

本文简要介绍了线性时不变系统的状态空间方程，以及如何通过矩阵函数的运算性质来分析系统的能控性和能观性。能控性和能观性是线性时不变系统的两个重要性质，能控性保证系统可以在有限时间内从任意初始状态到达任意状态，能观性保证系统可以通过有限时间内通过连续的控制变量以及测得的输出变量的信息，完全地确定初始状态。这两个性质是系统稳定性和控制器设计的基础，对于控制理论的研究和应用具有重要意义。

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