抽象代数速通 - 群
群
- 等价关系: 自反性, 对称性, 传递性
- 由等价关系诱导出等价类, 商集,
的划分 - 代数运算:
的映射 - 群: 结合律, 单位元, 逆元
- 判定: 非空, 良定, 封闭, 结合律, 单位元, 逆元
- 定理
- 单位元唯一
- 逆元唯一
- 消去律
- 定理
, 方程 和 有唯一解 - 方幂, 指数 (倍数) 运算
- 定理. 非空集合
构成群 - 结合律
- 左单位元
- 左逆元
- 定理 结合律成立,
构成群 , 在 中都有解 - 定理 具有左右消去律的有限半群 (结合律成立) 一定是群
子群
- 子群定义
- 性质: 单位元, 逆元相同
- 定理 子群判定
- 定理 子群判定
- 定理 子群的交仍是子群
在 中生成的子群是 中含 最小的子群 可以相同
判定子群只需要说明
中心化子 与
可交换的元素 中心 与所有元素都可交换的元素
同构
- 同构定义: 存在双射保运算
- 证明同构
- 构造映射
- 证明单射
- 证明满射
- 证明保运算
- 定理 同构性质
- 同构映射可逆, 逆映射也是同构映射
- 定理 群同构是等价关系
- 定理 Cayley. 任意群均同构于某一变换群.
循环群
- 群的阶: 有限群的元素个数
- 元素的阶:
- 定理 群阶的性质
- 定理 元素阶是群阶的因子
- 循环群:
- 定理 循环群性质
- 有限循环群与
同构 - 无限循环群与
同构 - 循环群的子群是循环群
- 推论
- 推论 无限循环群的全部子群, 有限循环群的全部子群
是素数, 关于模 乘法构成循环群, 生成元即为原根
置换群与对称群
- 全对称群, 置换群
- 轮换与轮换表示
- 置换的乘法, 从右到左结合
- 定理 不相交轮换的乘积可交换
- 定理 任意置换可表示成不相交轮换的乘积
- 定理 任意置换可表示成对换的乘积 (不唯一)
- 定理 任意置换写成对换的乘积时, 对换个数的奇偶性是一定的
- 定理
阶全对称群 中, 奇偶置换各占一半
子群的陪集
- 群的子集积记号
- 定理 子集积性质
- 结合律
- 消去律
利用乘法求逆运算的封闭性证明相互包含
- 结合律
- 左右陪集
, 左陪集 , 右陪集 - 定理 陪集性质
或
- 定理 Lagrange 设
是 阶有限群, - 定理
是良定的双射
证明集合相等
证明相互包含 任取左集合元素属于右集合, 任取右集合元素属于左集合 证明 A 或 B 成立, 证明
证明集合元素相等, 构造集合之间双射 (单射 + 满射)
正规子群和商群
- 正规子群
- 单群
且 不含非平凡正规子群 - 素数阶群必为单群
- 交换群的子群均为正规子群
- 定理 正规子群判定定理
- 定理
- 引理
- 引理
- 商群
在集合 上规定乘法运算 , 运算良定且构成群, 称为 模 后的商群 - 商群的单位元是
- 商群
的逆元是 是交换群 是交换群 - 商群的阶是群阶的因子
- 商群的单位元是
- 对
阶交换群, 素数 , 则 中必有 阶元素
判断正规子群常先证子群
, 再
同态基本定理
- 群同态:
两个群之间的映射满足 则成 是两个群之间的群同态 - 群同态的基本性质
- 若
, 则 且
- 记号:
, 记 - 定理:
则有 - 核空间 定义群同态
的核为 满足 单射
- 群同态基本定理 设
是群之间的满同态, 则 - 规定映射
- 验证映射良定, 映射结果与代表元无关
- 证明
满射, 单射 - 证明
保持乘法运算
- 规定映射
- 推论 第一同构定理 设
是群同态, 则 满同态,
用群同态基本定理证明同构
- 构造同态映射, 先证明良定
- 证明满射
- 证明保运算
- 求
- 得到
第二同构定理
同态映射为
第三同构定理
同态映射为
