数值分析速通 - 基础知识

误差

准确值 , 近似值

• 绝对误差
• 相对误差
• 相近的数相减, 相对误差增大
• 小数做除数, 绝对误差增大

数值计算的基本原则

• 避免绝对值小的数做除数
• 防止大数吃小数 (数量级相差大的数相加减)
• 避免相近的数相减
• 减少 Flops

非线性求解方程

二分法

二分法伪代码

不动点迭代

不动点迭代伪代码

定义, 全局收敛, 局部收敛, Lipschitz 收敛

推论: 在 连续, 可微, ,

在 上存在唯一不动点

局部收敛定理: 局部收敛

越接近零, 则不动点迭代收敛越快. 时将具有更高的收敛阶.

精度的极限

精度的极限

• 前向误差: 迭代点值不准确
• 后向误差: 迭代公式计算不准确 (如存在浮点误差)
• 误差放大因子: 相对前向误差 / 相对后向误差
• 条件数: 问题本身所决定的误差放大

原问题:

有误差的问题

得到根的敏感公式:

误差放大因子

要探讨迭代公式中某一项造成的误差, 就把这一项代入

牛顿迭代法

是一种特殊形式的不动点迭代, 希望提高迭代的收敛阶, 构造不动点迭代使得

迭代公式 (切线近似):

二阶收敛 , 则牛顿法局部二次收敛, 迭代误差 满足

更高阶收敛的情形

线性收敛 重根

改进为局部二次收敛 重根且 , 使用迭代公式

局部二次收敛

牛顿下山法

推广到非线性方程组

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