概统速通 - 随机变量的数字特征

数字特征

期望

定义 离散型随机变量的数学期望: 离散型随机变量

若 则称

为 的数学期望或均值

1. 要求绝对收敛是为了保证数学期望有唯一的数值
2. 数学期望的随机变量所有可能取值对取值概率的加权平均, 是一个数

定义 连续型随机变量的数学期望: 连续型随机变量 概率密度为 , 若 则称

为 的数学期望或均值

对于任意随机变量 , 都可用分布函数 的 Riemann–Stieltjes 积分定义期望 (要求绝对可积)

离散型随机变量对应广义 R-S 积分情况 2, 连续型随机变量对应广义 R-S 积分情况 1

函数的期望

定理 是 的分布函数, 连续, 若绝对可积, 则 的数学期望存在且

方差

定义

为 的方差 (Deviation / Variance)

为 的标准差 Standard Deviation 或均方差 Mean Square Error.

性质

1. 存在 存在
2. 存在
3. Chebyshev 不等式 > 粗略地通过方差限制了随机变量偏离均值的程度

方差刻画了随机变量关于数学期望的偏离程度, 随机变量关于数学期望的偏离程度比关于其他任何值的偏离程度小.

矩

• 阶原点矩
• 阶绝对原点矩
• 阶中心矩
• 阶绝对中心矩

相关性

定义 多维随机变量的函数期望

性质 多维随机变量每一维期望都存在, 则

1. 线性性
2. 相互独立

性质 多维随机变量每一维方差都存在, 则

若 相互独立

定义 随机变量 的协方差 Covariance

性质

定义 随机变量 的相关系数 Correlation Coefficient

性质

2. 以概率 1 线性相关
3. 称 为不相关

独立 不相关

多维随机变量可构造协方差矩阵和相关系数矩阵, 是半正定矩阵.

条件期望与方差

定义 的条件下, 随机变量 的条件数学期望

是 的函数.

实际上, 等是常数, 而 是随机变量.

函数的条件数学期望

性质

1. 独立
2. 全数学期望公式
   1. 离散型
   2. 连续型

定义 的条件下 的条件方差

是 相对条件数学期望 的偏离程度的衡量指标

特征函数

一维

定义 上的随机变量

为 的特征函数

性质

2. 在 上 一致连续
3. 非负定: 有
5. 线性变换

定理 波赫纳-辛钦: 是特征函数 在 上一致连续, 非负定且

定理 阶矩存在 存在且

用特征函数求矩

定理 反演公式: 的连续点 有

用特征函数求分布函数和概率

定理 唯一性定理: 分布函数恒等 特征函数恒定

定理 特征函数在 上绝对可积 连续型随机变量

定理 对于离散型随机变量

多维

定义 多维随机变量的特征函数

性质

3. 在实平面上一致连续
5. 的特征函数为
6. 的特征函数为

定理 特征函数求矩

定理 反演公式 (要求落在矩形边界上的概率为 0)

定理 维随机变量相互独立

令 , 则

若独立同分布, 则

许可协议

本文采用 署名-相同方式共享 4.0 国际 许可协议，转载请注明出处。

分享文章