复变函数速通 - 解析函数

复数

定义复数 , ,

共轭

模长

三角不等式

辐角

任何一个非零复数都有无穷个辐角

辐角主值: 在复数的辐角中把满足 称为 的主值

三角表示法

指数表示法

求用复数方程表示的曲线: 代入 , 再通过平方, 取模等方法消除 , 得到关于 的方程. 最好先从几何意义上解释曲线.

定理 两复数相乘, 模长相乘, 辐角相加.

定理 两复数相除, 模数相除, 辐角相减.

有 但不一定有 ,

De Moivre 公式: 模长为 时有

复平面上的点集

关于复平面点集的基本概念

• 邻域: 内部的点的集合称为 的邻域
  • 无穷远点的邻域:
• 去心邻域:
  • 无穷远点的去心邻域:
• 内点: 为 中一点, 存在 的邻域, 邻域内所有点都属于
• 开集: 中每一点都是内点
• 区域: 联通的开集
• 边界点: 不属于区域 的点 , 在 的任意小邻域中总有 中的点
• 边界: 的所有边界点的集合, 记为
  • 边界可能是由几条曲线和孤立的点组成
• 闭区域: 区域连同边界
• 有界区域 / 无界区域: 是否可包含在以原点为中心的圆内
• 连续曲线: , 是连续的实变函数
• 光滑曲线: 连续且
• 简单曲线 / Jordan 曲线: 没有重点的连续曲线
  • 简单曲线自身不相交
  • 任意一条简单闭曲线将复平面唯一分成三个互不相交的点集
    • 内部: 有界区域
    • 外部: 无界区域
    • 边界: 内部和外部的公共边界
• 单连通域: 在区域内任作一条简单闭曲线, 曲线内部总属于区域 (没有洞)
• 多连通域: 不是单连通域的区域
• 简单闭曲线的方向: 正向对应内部在左侧 (外边界逆时针, 内边界顺时针)

连续和极限

复变函数不区分函数, 映射, 变换等概念, 一个自变量对应的因变量可能不是唯一的.

定理

的方式是任意的.

许多实数列极限相关的定理对复数列极限仍成立, 如 Bolzano-Weierstrass 聚点定理, 闭集套定理, Heine-Borel 有限覆盖定理等.

定理 连续 和 都连续

许多闭区间上连续函数的性质可推广到有界闭集上的连续复变函数, 如 Weierstrass 有界性和最值定理 (模长意义下), Cantor 一致连续性等等.

包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 可讨论广义极限和广义连续.

解析函数

定义 复变函数的导数: , 定义域区域 , 不超过定义域范围,

的方式是任意的.

定义 在区域内处处可导, 则称 在区域内可导

同实变函数, 可导一定连续, 连续不一定可导. 对于以复数 的运算表示的复变函数, 求导规则同实变函数. 对于拆分实部虚部表示的复变函数, 可导性不显然.

定理 在 可导 在 可微

定义 在 解析: 在 及其邻域内处处可导

定义 在区域 内解析 / 解析函数 / 全纯函数 / 正则函数: 在区域 内每一点解析

定义 奇点: 在 不解析, 但在 任意邻域内总有 的解析点

函数在区域内解析 函数在区域内可导

函数在一点解析 函数在一点可导

• 解析函数的和差积商 (除去分母为零的点) 解析
• 解析函数的复合函数解析
• 所有多项式在复平面处处解析
• 有理分式函数子在分母不为零的点解析, 分母为零的点是奇点

Cauchy-Riemann 方程

定理 在一点可微 在该点可微, 且满足 Cauchy-Riemann 方程

此时有导数公式

以及其他根据 C-R 方程导出的代换形式. 另外可结合二元实变函数可微的必要条件和充分条件:

• 可微 存在, 满足 C-R 方程
• 可微 连续, 满足 C-R 方程

由复变函数可微和可导的等价性, 在区域 上, 解析 在区域内可微, 且满足 C-R 方程.

事实上, 由解析函数的无穷可微性, 可微 连续, 满足 C-R 方程

极坐标的 C-R 方程

初等解析函数

指数函数

定义满足以下条件的 为指数函数

1. 在复平面内处处解析
3. 时, 有

记作

也写作 , 但没有幂的意义

加法定理

可得到 的周期性, 周期是 这是实变函数 不具有的性质

三角函数

定义

正弦, 余弦函数的奇偶性, 周期 (), 导数, 三角恒等变换公式等同实变函数, 但是不再具有有界性. 类似可定义正切, 余切, 正割, 余割等三角函数.

双曲函数

是以 为周期的周期函数, 导数和三角变换公式同实变函数. 有

初等多值函数

定义 单叶函数: 在区域 内有定义, 且对于 内任意不同两点 有 . 从区域 到 区域 的单叶满变换是从 到 的一一变换.

希望把多值函数的函数值限制到单叶函数, 以便研究, 可以使用

1. 限制辐角法
2. 割破平面法

根式函数

定义 次根式函数: , 记为 , 是幂函数 的反函数.

的根是以原点为中心, 为半径的圆内接正 边形的 个顶点

根式函数的多值性: 时,

多值性的成因

终边 相同时, 的旋转角度可以多

将 分为单值解析分支后, 可求导数

限制辐角法

将 平面分割成 个区域

n=3的情形

这样 平面上每个角形区域能恰好映射到整个 平面上. 区域 是单叶性区域 , 满足下列条件的 对应的角形互不相交且填满 :

然后可限制只取原函数落在某个特定单叶性区域的值, 即可将原函数转化为单叶函数. 式 给出了根式函数的单值解析分支. 限制辐角法只能处理 平面能被简单按辐角划分的情况.

割破平面法

根式函数出现多值性的原因是 的辐角不能唯一确定, 可能相差 . 考虑在原点到 任意引一条割线 (或者无界简单曲线). 割破的 平面构成一个以割线为边界的区域 , 在 内指定一点 和它的辐角值, 则 内任意点 的辐角都可以根据 的辐角连续变化而唯一确定.

考虑变点 从 出发, 沿 内任一条过 的简单闭曲线前进一周, 在 平面上的像点也画出一条闭曲线, 则 能回到起始值 , 式 给出 的 个单值连续分支函数.

z 平面上和 w 平面上闭曲线

定义 多值函数的支点: 变点 绕这点一整周时, 多值函数从一支变换到另一支. 即变点转回原来的位置时, 函数值和原来的值相异.

有且仅有支点

若定义域不包括原点, 则不需要割破平面也能划分单值解析分支.

定义 支割线: 用来割破 平面从而得到单值解析分支的割线.

支割线具有两岸, 上岸, 下岸, 左岸, 右岸

对于支割线的不同做法, 得到的分支不同, 各分支的定义域随支割线变化. 每个单值分支在支割线上是不连续的, 在两岸取到不同的值, 可以扩充到单边连续到一岸.

定义 主值支: 取负实轴为支割线, 其中有一支在正实轴上取正实值

对数函数

定义 对数函数是指数函数 的反函数, 记为

是 的无穷多值函数. 主值支:

负数无实对数, 正实数的复对数也是无穷多值的,

复对数仍然满足对数函数的基本性质 (集合相等)

对数函数的单叶性区域是带状

导数是单值的

的支点是

一般幂函数, 一般指数函数

定义 一般幂函数: 为复变数, 为复常数, 定义一般幂函数

1. 为整数. 是单值函数
2. 为有理数 , 能取 个不同的值
3. 为无理数或虚数, 无穷多值

定义 一般指数函数:

具有有限个支点的函数

是任意的 次多项式

1. 可能的支点是 和
2. 不能整除 是支点
3. 不能整除 是支点
4. 能整除 中若干个之和, 则对应的几个可以连接成割线抱成团, 变点在抱团内部简单闭曲线转一整周后函数值不变. 抱团可以不止一个, 不能抱团的点 和 连接成割线.

说明

由单值解析分支上一点的初值 计算另一点的终值 : 先计算沿曲线不通过支割线到达终点的辐角连续改变量 , 再计算终值

还是要看例题才明白

反三角函数

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