数分速通 - 数列极限

Stolz 定理

定理 设 为严格单增的正无穷大量, 若

可为实数, , 则

时可能不成立

对应导数的洛必达法则

简要证明 先证

1. 已知极限定义
2. 展开绝对值, 累加不等式到
3. 同除 , 中间得到
4. 两边的 , 丢掉; 中间的 受已知极限约束可任意小

再证 , 令

实数基本定理

实数的重要性质:

1. 运算的封闭性
2. 有序性
3. 稠密性
4. 完备性: 任意实数都是有理数列的极限

单调有界定理

定理 单调有界数列必收敛

简要证明 将实数视作十进制无限小数, 从高位到低位, 必存在数列中某一项后该十进制数位不再变化, 则小数点后 位不变时, 能控制

简要证明 单调性作差可知

可得下界, 则 极限存在

闭区间套定理

定义 闭区间列 满足

• 不要求真包含
• 区间能不断缩小

则称 为一个闭区间套

定理 若 是一个闭区间套, 则存在唯一的 使得

简要证明 由 知

则 单增有上界, 单减有下界, 两数列极限存在. 知两数列极限相等, 存在性得证.

唯一性, 再设 , 则

闭区间套定理的常见应用: 不断二分或三分缩短区间, 保持性质成立, 由定理得极限存在.

Bolzano-Weierstrass 定理

定理 的充要条件是 的每个子列 都有

定理 有界数列必有收敛子列.

简要证明 设 , 则可二分构造闭区间套, 选取二分区间中至少一个含有 的无穷多项, 那么从每次迭代的区间中选出 , 即可保证 收敛到

推论 有界发散数列必存在两个子列收敛到不同的数.

简要证明 由 B-W 定理取一子列 收敛到 ,

则取 , 可构造子列 不收敛到 .

有界 有收敛子列不收敛到 (若所有收敛子列都收敛到 , 则 收敛到 )

Cauchy 收敛原理

避免极限与实数的循环定义

定义 数列 满足 , 则称为基本数列

定理 基本数列 收敛数列

简要证明 易知收敛 基本数列.

先证有界性.

则存在收敛子列

Cauchy 收敛常用三角不等式构造

确界存在定理

定义 上确界: 是非空数集 的最小上界.

1. 是 的上界,
2. 是 的最小上界, 不是 的上界,

定理 非空有上界的实数集必有上确界.

简要证明 先说明 , 是 的上界, 但是 不是上界

取 , 是上界, 同时

进而由 Cauchy 收敛知 , 然后说明 符合 的定义:

2. 要证 不是 的上界, (利用极限找到 )

而 不是上界,

则

Heine-Borel 有限覆盖定理

定义 开覆盖: 设 非空, 若开区间族 满足

称 是 的一个开覆盖

易知 , 开覆盖存在.

定理 闭区间 的任意一个开覆盖 存在有限子覆盖, 即在 中存在有限个开区间 满足

简要证明 反证, 设某个闭区间的开覆盖不存在有限子覆盖, 则可以二分构造不存在有限子覆盖的闭区间套

可用闭区间套定理, 收敛到一个点上一定可以用一个开区间盖住

可用确界存在定理. 闭区间套 满足

1. 单增有上界
3. 不存在有限子覆盖.

取 , 则

则 一定属于开覆盖中一个开区间, 能被这个开区间覆盖, 矛盾.

用 H-B 有限覆盖定理把无限个开区间的性质转化为有限个区间的性质.

用 H-B 有限覆盖定理证明单调有界定理. 设 单增有上界, 证明 收敛.

反证, 假设 发散, 构造 的开覆盖

只含有 的有限项. 开覆盖存在有限子覆盖, 则可以构造有限子覆盖只含有 的有限项, 则 只含有 的有限项, 矛盾.

上下极限

定义 极限点：有界数列 存在子列 收敛到 , 称 是 的极限点

定理 记有界数列的所有极限点构成集合 , , 有 , 即

简要证明 要证 , 需要找到子列收敛到 . 利用上确界定义, , 取 构造 中数列 , 还需要在 附近找到 .

由极限点的定义.

可构造子列 .

记

定理 有界数列收敛的充要条件

极限点和上下极限的定义也可以扩充到 的情况

上下极限的运算

对任意有界数列

对任意非负数列

上下极限的和

其中一数列极限存在则取等 (不定式除外).

非负数列的上下极限的积

其中一数列极限存在则取等 (不定式除外).

拆开上下极限, 范围变大; 合并上下极限, 范围变小. 证明可用

利用上下极限证明 (伪证) 极限存在: 肯定上下极限分别存在, 然后用上面的运算得到结果的上下极限大小关系, 发现刚好限制到相等.

压缩映射原理

定义 设 , 映射 满足

为常数, 称 是 上的一个压缩映射, 是压缩比.

若 在 连续, 在 可导, , 则 是 上的压缩映射.

定义 设 , 映射 , 若 满足

则 是 在 上的一个不动点

定理 设 是 上的压缩映射, 则

1. , 数列 收敛
2. 记 , 则 是 在 上的唯一不动点
3. 满足估计

后者为先验估计, 只需要求前两项就可以估计某一项的收敛程度

简要证明 Cauchy 数列 收敛

证 , 由数列极限保序性, . 取极限可知 . 再证唯一性:

估计:

在迭代公式中找到压缩映射, 证明极限存在, 不动点存在

对于闭集上的多元向量值压缩映射, 仍然可说明不动点存在且唯一.

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