更新于 2024-05-06

理论力学速通 - 刚体力学

刚体: 没有形变的物体
- 物体中任意两点距离永不改变
- 计算能力, 动量, 角动量不考虑内力, 一切内力可忽略
自由度: 3 平动 + 3 转动
刚体上二力平衡: 等大反向共线
- 滑移矢量: 刚体上的力可沿力线任意滑动
- 若要把刚体上的力移到任意点, 需要加上新的力偶, 力偶矩等于移动前的力对指定点的力矩
  - 力偶: 一对等大, 反向, 不共线的力, 不影响平动
  - 力偶对以任意点为参考点, 力偶矩均为 $相$
刚体上的力可以沿任意点简化
- 主矢:
- 主矩:
刚体平衡条件: 主矢主矩均为零
- 汇交力系: 若所有力过同一点, 则主矩为零, 只用计算主矢
- 平面力系: 在平面上, 则只用求
- 三力平衡: 要么三力共点, 要么平行
  - 以下条件等价
    - 三力能被一力代替
    - 存在一点主矩为零
    - 任意一点主矢垂直于主矩
- 刚体平衡问题可能是超静定问题 (未知数多于方程数), 此时无唯一解, 刚体模型不适用, 必须考虑物体的形变
刚体的运动
- 平动
- 定轴转动
- 定点转动
- 平面平行运动 (滚动): 任意一点始终在平行于固定平面的平面内转动
- 一般运动

转动的描述

角位移: 大小为绕轴转过的角度, 方向与转过角度成右手关系
- 原点在轴上
- 不满足平行四边形法则, 不是矢量
- 无限小角位移是矢量
角速度矢量
- 原点在轴上
- 对所有参考点, 角速度都是相同的
角加速度矢量
- 对所有参考点, 角加速度都是相同的

欧拉角

按顺序, 依次旋转:

进动角 : 绕轴, 轴转向轴
章动角 : 绕轴, 轴转向轴
自转角 : 绕轴, 轴转向轴

动系中

静系中

定点转动

绕质心转动方程

绕固定轴的转动惯量 (考虑每个点到轴的距离)

欧拉角

欧拉角

希望能计算绕任意固定轴 (方向角 ) 的转动惯量

存在一个方向, 可以相似对角化惯量张量

xOy 平面对称,
绕 x 轴中心对称

角动量

转动动能

静系下定点转动动力学方程

欧拉动力学方程 (动系中)

定轴转动

绕 z 轴转动, 角动量定理

平面物体对于面上任意一点, 惯量张量都具有如下形式

垂直轴定理: xOy 平面上的平面物体绕 z 轴的转动惯量等于绕 x 和 y 轴的转动惯量之和.

平面平行运动

刚体上任意点的速度: 基点的速度与相对基点的转动速度的矢量和

这个公式中, 基点的选取可以是任意的

刚体上任意点加速度: 基点加速度和相对于基点转动加速度的矢量和

转动瞬心: 某一时刻平面上的某一点的速度为零

刚体上任选两点，若它们的速度方向不平行，则通过两点作速度的垂线，交点即为转动瞬心
如果两点的速度的垂线相互平行，且不重合，则可以认为它们的点在无限远处，即无限远处为瞬心。此时刚体作平动
如果两点的速度的垂线重合，且大小相等，方向相同，则无限远为瞬心。此时刚体作平动
如果两点的速度的垂线重合，且大小不等，此时作两速度矢量的末端的连线，它与垂线的交点即为瞬心

若刚体上三个质点的速度恒相同, 则刚体只能做平动

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